Položaj in pomen logike se je skozi zgodovino spreminjal. Tako je Aristotelu logika pomenila metodologijo za znanost in tudi za filozofsko raziskovanje.
Drugačen pogled so imeli na logiko stoiki, kjer je filozofija veljala za samostojno filozofsko disciplino, poleg etike.
Danes je logika samostojna znanost, ločena, vendar zelo pomembna za matematiko in filozofijo. Njen pomen za filozofijo gre iskati predvsem v razlagi, da je logika prišla do nekaterih ugotovitev, za katere se smatra, da so zakoni stvarnosti, da torej v življenju držijo. Takšen primer so zakon izključenega tretjega, zakon protislovnosti,… Te ugotovitve o stvarnosti so kasneje zelo pomembne za filozofijo, kajti iz njih oziroma z njihovo pomočjo lahko filozofi ugotavljajo še druge resnice o svetu.
Zgodovina logike
Zelo zanimivo je dejstvo, da se je logika, formalna logika, kot znanost o nujnem izhajanju enih stavkov iz drugih, razvila na dveh ločenih koncih sveta in sicer v Aziji (Indija) in v Evropi (Grčija).
Razvoj evropske logike lahko razdelimo v štiri etape. Prva je antična perioda, sledi ji obdobje srednjeveške sholastične logike, pa tradicionalne (16. do 19. stoletje) in obdobje moderne logike.
Antično obdobje
Za začetek formalne logike, izpeljevanja enih stavkov iz drugih lahko štejemo eleatsko filozofsko šolo iz 6. stoletja BC. Zenon je z logičnimi paradoksi ugotavljal, da lahko neko trditev spelje do protislovja in tako lahko ovrže njeno resničnost.
Čeprav je za filozofijo zelo pomemben Sokrat in njegovi učenci (Platon, Aristotel), imajo velik pomen v logiki tudi sofisti, ki so bili tradicionalni nasprotniki Sokrata in Platona. Ti ljudje so učili ljudi govorništva, med drugim tudi lažnih sklepanj. Bili so relativisti, niso priznavali objektivnih resnic, na drugi strani pa so naleteli na močno opozicijo v Sokratu, Platonu in Aristotelu.
Sokrat, atenski filozof je zaslužen za nastanek pojmov in definicij stvari, pa za uveljavitev pojmovne indukcije. Njegov učenec Platon je spoznanja iz ozkega področja logike prenesel na celotno področje filozofije in znanosti, vendar logičnih spoznanj še ni sistematiziral. Tako je ugotovil, da je resnica v soglasju med stavkom in dejstvom, ki ga stavek izraža. To je tudi tak imenovana klasična teorija resnice. Po drugi strani je veljavnost sklepanja utemeljil z nujnimi zvezami med oblikami stavkov. Ta zamisel je njegovemu učencu Aristotelu omogočila zamisel o obliki stavkov, ki je tudi nosilec logičnih zakonitosti. Aristotelova logika še ni formaliziral vseh sestavin stavka ampak samo subjekt in predikat. Aristotel je odgovoren za nastanek silogizmov, to je sklepanj, ki jih sestavljata dve premisi in sklep in ki je veljalo za popoln sistem do Kanta.
Tako je Aristotel učinkovito obdelal napačna silogistična sklepanja sofistov, prišel pa je do ugotovitve nekaterih splošno veljavnih logičnih zakonov. Njegova ugotovitev je zakon izključene tretje možnosti, zakon o izključenem protislovju,…
Aristotel je bil v srednjem veku največja filozofska avtoriteta. Vendar so ga deloma presegli že Megariki. Ti so prišli do ugotovitve pogojnih stavkov. Tako so ugotovili, da je implikacija neresnična samo takrat, ko je antecedens resničen, konsekvens pa neresničen in to pravilo velja v logiki še danes.
Stoiki so nadaljevali delo megarikov in odkrili še več logičnih veznikov, ne le implikacije. Ti so bili negacija, konjunkcija in disjunkcija. Morda največji napredek z Aristotelom in vsemi nasledniki je bil ta, da logikov ni več zanimala sama vsebina stavkov, ampak pogoji, ob katerih so sestavljeni stavki resnični. Stoiki so oblikovali pravilo Modus ponens. Za Aristotela je bila pomembna notranja sestava stavka, za stoike pa zgolj odnosi med stavki.
Sholastično obdobje
V to obdobje lahko uvrstimo logiko Alberta Velikega in Tomaža Akvinskega, ki sta aktualizirala in za cerkveno avtoriteto nastavila Aristotela. Ko je renesansa presegla cerkveno avtoriteto, je pometla tudi z aristotelovo silogistiko.
Tradiconalna logika
V obdobju tradicionalne logike je prišla na dan ideja, da naj bi logika izumljala argumente, ter iskala primere, kjer lahko izumljene argumente uporabimo. Francis Bacon je utemeljil induktivne metode, ki naj bi bile edino orodje, da pridemo do novih spoznanj. Čas, v katerem je živel Francis Bacon je prebujanje znanstvenikov, zbiranje podatkov o svetu in tradicionalna silogistika, ki ni imela na videz nič skupnega s tem, naj ne bi bila sposobna doseči novih spoznanj.
Najpomembnejši mož za logiko v tradicionalnem obdobju je bil Leibniz. On je razmišljal o logiki tako kot razmišljamo danes. Bil je mnenja, da se da vse pojme in operacije označiti z znaki in potem z njimi računati kot v matematiki. Z računanjem naj bi nato prišli do vseh možnih resnic in pojmov. Leibniza uvrščamo med očete moderne simbolne logike.
Osnovne značilnosti moderne, simbolne logike so v tem, da mora vsakemu pojmu ustrezati poseben znak. Pri vseh sklepanjih in izpeljavah, pa se mora uporabljati računanje s temi znaki.
Drugi pomembni možje moderne logike so George Bool, Gottlob Frege, Bertrand Russell.
Razlika med veljavnostjo in resnico
Osnovna razlika med veljavnostjo in resnico je v tem, da se v veljavnem argumentu resnica premis ohranja skozi sklepanje, v neveljavnem pa to ni nujno. O resnici (vsebinski) govorimo samo kot o resnici premis. Če to razumemo v skladu s klasično teorijo resnice, potem je premisa resnična, če in samo če je med sabo usklajena vsebina o kateri govori propozicija in dejanska stvar o kateri propozicija govori. In obratno, premisa je neresnična, če temu ni tako.
Veljavnost pa zagotavlja, da v primeru da v veljaven argument vstavimo resnične premise, se bo resnica premis ohranila tudi v sklepu, medtem ko v neveljavnem argumentu to ni nujno.
Lahko se zgodi, da je sklep, ki sledi neveljavnemu argumentu resničen, ne more pa se zgoditi obratno, da bi veljavnemu sklepanju, kamor vstavimo resnične premise, sledil neresničen sklep. To je tudi definicija veljavnosti argumenta. Argument je veljaven, če in samo če ni mogoče, da bi bile premise iz katerih izpeljujemo sklep resnične, sklep pa napačen.
Kdaj je argument zdrav
Argument je zdrav takrat, ko je sklep veljaven, poleg tega pa so premise resnične in resničen je tudi sklep. Vendar je lahko argument zdrav tudi v primeru, ko se v sklepu zatrjuje tavtologija. To je zaradi tega, ker prvič, čim je v sklepu zatrjena tavtologija, ni mogoče, da bi bile premise resnične, sklep pa neresničen, saj je sklep vedno resničen. Tako lahko vidimo, da so nekateri argumenti zdravi, se pravi premise resnične, sklep resničen, argument veljaven ?!, pa vendar takšen sklep ni dober. Premise v takšnem argumentu niso relevantne za sklep.
Dokaz na drugi strani pa je zdrav argument (resnične premise, veljaven argument in premise relevantne za sklep), ki ima neizpodbitne premise dokaz.
Primeri:
Zdrav argument: Peter je višji od Andreja. Janez je višji od Petra. Torej Janez je Janez.
Načelo ekstenzionalnosti in tri predpostavke logične formalizacije
Načelo ekstenzionalnosti pravi naslednje. Za vsak veznik v klasični logiki, za katerega je mogoče izdelati tabelo, ki enoznačno določa resničnostno vrednost sestavljene propozicije, pravimo, da je ekstenzionalen. Hkrati pa velja, da ga je mogoče zaradi ekstenzionalnosti nadomestiti z drugim veznikom oziroma več njih, pri čemer se resničnostna vrednost sestavljene propozicije ne spremeni. Takšen primer ekstenzionalnosti veznikov nam pokaže zamenljivost veznikov implikacije z veznikoma disjunkcije in negacije.
P -> Q ni res, da P-ne in Q
Tri predpostavke :
Načelo bivalence pravi, da ima vsaka propozicija v vsaki možni situaciji zgolj eno od dveh mogočih resničnostnih vrednosti.
Klasična abstrakcija trdi, da sta edini lastnosti, pomembni za proučevanje logičnih odnosov med propozicijami logična oblika in resničnostna vrednost.
Po Fregejevi domnevi je resničnostna vrednost sestavljene propozicije določena z obliko in lastnostmi sestavnih delov propozicije.
Fizikalna, analitična in logična modalnost
Določene propozicije so resnične zgolj zaradi svoje oblike. To so tako imenovane tavtologije. Tavtologija je vsaka propozicija, ki je nujno resnična. Nujno resnična pa je lahko iz večih razlogov.
Fizikalna – če propozicija nasprotuje fizikalnim zakonom, je njeno zanikanje nujno resnično
Analitična – če propozicija nasprotuje pojmovnemu pomenu je njeno zanikanje nujno resnično
Logična – če propozicija nasprotuje logičnim zakonom, je njeno zanikanje nujno resnično.
K temu je potrebno dodati še dva pojma in sicer o apriornosti in aposteriornosti. Apriorno resnična je propozicija, katere resnico spoznamo brez sklicevanja na čutno izkustvo, med tem ko aposteriorna zahteva čutno potrditev.
Primeri:
Telo se giblje pospešeno, čeprav nanj ne deluje nobena sila.
Trikotnik ni lik s tremi koti.
Konj je žival in konj ni žival.
Negacija, protislovje, nasprotje, konsistenca, nekonsistenca
Negacijo lahko opredelimo kot enomestni veznik oziroma kot resničnostno funkcijo, ki zanika resničnostno vrednost premise na katero učinkuje.
Protislovje je propozicija, ki nikoli ne more biti resničen, se pravi protislovna propozicija je vedno neresnična. Najlažje je protislovje narediti kot konjunkcijo premise in njenega zanikanja. Logična posledica, če v argumentiranje uvedemo protislovje je ta, da iz njega sledi karkoli. Zato je v logiki iskanje protislovja v dokazovanju in preverjanju veljavnosti pogosto uporablja.
O konsistenci govorimo takrat, ko imamo neko sestavo premis, za katere velja, da so lahko vse hkrati skupaj resnične. Se pravi nujno je res, da tak izraz ne vsebuje logičnega protislovja. Konsistenco lahko na enostaven način ugotavljamo s semantičnimi drevesi. Pri preverjanju konsistentnosti je ravno obratno kot pri ugotavljanju veljavnosti argumenta. Pri ugotavljanju veljavnosti argumenta smo s pomočjo premis in zanikanega sklepa preverili, če je takšna interpretacija mogoča. Če je bila, se pravi, da se vsaj ena od vej ni zaprla, ampak je to možnost dopuščala, argument ni bil veljaven. Če so se zaprle vse veje, je bil argument veljaven. Pri iskanju konsistence pa poteka proces brez zanikanega sklepa ampak razstavljamo vse izraze in ugotavljamo, če obstaja interpretacija, ki je možna. Če se veje zapro, izrazi med seboj niso konsistentni. Podobno deluje iskanje tavtologije. Najprej preverimo, če iskani izraz ni tavtologija, se pravi zanikamo ga in preverimo ali sestav vzdrži razstavljanje. Če se vse veje zapro, zanikana prpozicija ni pravilna, torej je začetni izraz tavtologija. Če je kakšna veja odprta, izraz ni tavtologija, vendar še ne vemo ali gre za protislovje ali kontingenco. To ugotovimo tako, da začetni izraz še enkrat razstavimo in če se veje zapro, je izraz protislovje, če ne, je kontingenca.
Nekonsistentni so izrazi, sestava premis, ki ne more biti resnična.
Logični vezniki stavčne logike
Poznamo pet klasičnih veznikov stavčne oziroma propozicionalne logike. To so negacija, konjunkcija, disjunkcija, implikacija in ekvivalenca. S tem, da je mogoče posamezne veznike izraziti s pomočjo drugih. Tako je ekvivalenca izraz, ki je konjunkcija dveh implikacij. Implikacija je izraz, ki ga lahko izrazimo s pomočjo negacije in konjunkcije ali negacije in disjunkcije, tako da je ekvivalnca izraz, sestavljen iz negacije in konjunkcije ali negacije in disjunkcije.
Resničnostna funkcija
V splošnem jeziku funkcija pripisuje nekim predmetom nove predmete kot vrednosti funkcije. Tako kvadratna funkcija številom priredi njihovo kvadrirano vrednost. Resničnostna funkcija ravno tako pripisuje nove predmete, vendar s to razliko da posameznim resničnostnim vrednostim pripiše novo resničnostno vrednost. Tako recimo resničnostna funkcija, ki obrne resničnostno vrednost argumenta v resničnostni funkciji, se pravi če nad neko resničnostno vrednostjo izvedemo operacijo te funkcije, bo rezultat funkcije njena obratna vrednost. Funkcije so lahko tudi dvomestne, se pravi da delujejo na dveh vhodnih podatkih. Lahko imamo tudi n-mestne funkcije. Tako dobimo resničnostne tabele in nekatere od njih so kar tabele resničnostnih veznikov klasične logike, za druge tabele pa velja, da so iz veznikov klasične logike kar izpeljivi. Pravzaprav je celotna propozicionalna logika izpeljiva zgolj iz enega veznika, to je shefferjeve funkcije, vendar so takšni izrazi zapleteni.
Sistem veznikov
Če pripišemo vse možne kombinacije resničnostnih vrednosti dvema vhodnima podatkoma, bomo dobili 16 resničnostnih tabel. Nekatere kombinacije med njimi predstavljajo točno določen veznik. Za vsako drugo kombinacijo pa je značilno, da jo lahko izpeljemo iz osnovnih veznikov. Še celo več. Tudi osnovne veznike klasične propozicionalne logike lahko izpeljemo iz drugih. Tako implikacijo iz negacije in konjunkcije, ekvivalenco iz konjunkcije in implikacij. Najbolj zanimivo pa je to, da je mogoče vsak veznik izraziti s shefferjevo funkcijo. Tabela zanjo je / NNNR | NRRR.
Prva Shefferjeva funkcija deluje tako, da je njena resničnostna vrednost R samo takrat, ko sta oba člena N, druga pa tako, da je vrednost N samo takrat ko sta oba člena R.
S Shefferjevo črto je tako mogoče izraziti vsako zanikano propozicijo in sicer p | p pomeni ne-p. Čim je mogoče izraziti negacijo, pa lahko izražamo tudi druge veznike.
Vprašanja logične oblike
Veljavnost logične oblike pomeni, da ni možno, da bi obstajala interpretacija, po kateri bi bile premise resnične, sklep pa napačen. To najlažje preverimo s semantičnimi drevesi. Z njimi zgradimo drevo, kjer razstavimo vse premise in zanikani sklep in če se vse veje zapro, potem iz tega sledi, da takšna interpretacija ni mogoča, torej je argument veljaven.
Tavtologije preverjamo podobno. Zanikamo izraz in preverimo, če je možna takšna interpretacija. Če ni možna, se pravi, čim so veje zaprte, je zanikani izraz nemogoč, prvotni pa je resničen in je tavtologija.
Konsistentnost v drevesih se preverja brez zanikanja propozicije in odprta veja pomeni konsistentnost, se pravi mogočo hkratno resnico premis.
Definicije veljavnosti
Argument je veljaven, če in samo če ni interpretacije, kjer bi bile premise argumenta resnične, sklep pa napačen.
Veljaven argument uprimeri veljavno logično obliko.
Veljavnost argumenta preverjamo na več načinov. Prvi je metoda tabel. Z njo tabeliramo resničnostne vrednosti vseh posameznih propozicionalnih izrazov in vseh sestavljenih funkcij ter negacije sklepa. Če v tabeli najdemo vrstico z resničnimi premisami iz katerih sledi neresničen sklep, potem je argument veljaven, saj smo uporabili zanikani sklep. S tabelami lahko preverimo tudi konsistentnost premis, kjer je množica propozicij konsistentna če in samo če najdemo v tabeli vrstico s samimi resničnimi propozicijami.
Drugi način preverjanja veljavnosti je metoda tavtologij. Pogoj veljavnosti lahko zapišemo v obliki implikacije. Tako se glasi, če so premise resnične, potem je resničen tudi sklep. Hkratna resnica premis pomeni resničnost njihove konjunkcije. Vse kar moramo storiti je, da povežemo konjunkcijo premis s sklepom, povezava pa je implikacija.
Zadnja izmed metod s katerimi preverjamo ali je dani izraz tavtologija ali ne, je posredna metoda. Po tej metodi predpostavimo, da je v vrstici pod glavnim veznikom znak N in pogledamo, če je nato kjerkoli v argumentaciji možno priti do protislovne trditve. Če do takšne trditve pridemo, potem je izraz tavtologija, saj N ne nastopa pod glavnim veznikom. S posredno metodo lahko preverimo tudi veljavnost. Vse kar moramo storiti je to, da k premisam dodamo zanikani sklep oziroma pod sklep vrednost N. Če naletimo na protislovje, sklepamo, da je argument veljaven.
Semantična drevesa
Z drevesi preverjamo konsistentnost propozicij v katerih se skriva zanikani sklep. Ko zgradimo drevo in se nam vse veje drevesa zapro, je to znak, da takšna shema ni mogoča in argument je veljaven. Če ne uporabimo negacije sklepa, potem preverjamo konsistentnost premis, torej v primeru da se nam veje zapro, odmrejo, je množica propozicij nekonsistentna.
Z drevesi je dalje možno ugotavljati tudi ali je dani izraz tavtologija. Zanikamo ga in preverimo, če je takšna oblika možna, torej če se veje zapro. Če se zapro, oblika zanikane propozicije ni možna in propozicija je tavtologija.
Dokazovanje v sistemu naravne dedukcije
Z metodo semantičnih dreves smo kritizirali argumente. Uporabili smo metodo, da smo pokazali, da premise niso konsistentne ali da argument ni veljaven. Z naravno dedukcijo, oziroma dokazovanjem v naravni dedukciji, pa ne kritiziramo argumenta, ampak dokažemo njegovo izpeljivost iz premis. Argument je dober, ko ima resnične premise in sklep sledi iz premis.
Dokazovanje poteka iz nekih začetnih domnev, po posameznih korakih, v katerih sklepamo iz predhodnih vrstic. Pri tem moramo v vsaki vrstici navesti upravičenje za korak, ki smo ga storili. S tremi pikicami oziroma pikapolonico smo označevali da sklep zgolj verjetno sledi iz premis in da je potrebno to preveriti, kar smo tudi storili s semantičnimi drevesi, v dokazovanju pa že predpostavimo, da je argument veljaven.
V dokazovanju se je potrebno držati določenih pravil sklepanja in za ta pravila je dovolj, da smo jih dokazali samo enkrat, več pa jih ni treba. Osnovna zamisel je ta, da s pomočjo majhnega števila pravil, lahko za vsak veljaven argument pokažemo, da sledi iz premis. Sistem naravne dedukcije temelji na tem, da za vsak veznik propozicionalne logike uvede dvoje pravil, pravilo opustitve veznika in pravilo njegove priključitve.
V osnovi poznamo določeno število osnovnih pravil, za vsakega od petih veznikov klasične logike po dva.
NEGACIJA ON – dve negaciji se okrajšata
RAA – vpeljava negacije na način posrednega dokaza
KONJUNKCIJA OK – konjunkcijo opustimo tako, da zatrdimo vsak posamezni člen
PK – konjunkcijo lahko priključimo vedno, kadar imamo zatrjene neke posamezne člene.
DISJUNKCIJA OD – disjunkcijo lahko opustimo s pomočjo implikacije
PD – disjunkcijo lahko priključimo k vsakemu, že spoznanemu členu
IMPLIKACIJA OI – modus ponens
PI – pogojni dokaz
EKVIVALENCA OE – opustimo jo kot konjunkcijo dveh implikacij
PE – iz dveh obratnih implikacij
Druga stvar so izpeljana pravila, ki so izpeljana iz osnovnih pravil, vendar logično pravilna in nam omogočajo, da enostavneje sklepamo. Najbolj znano je pravilo modus tollens, pa konstruktivna dilema, disjunktivni silogizem, hipotetični silogizem, konstruktivna dilema.
Dokazi oblike reductio
Dokazi oblike reduction se izvajajo po načelu priključitve negacije. Sklepanje samo poteka tako, da predpostavimo neko trditev in nato iz tega sklepamo dalje. Če nas sklepanje vodi v nastanek protislovja, lahko začetno propozicijo zavrnemo.
V ozadju teh dokazov se skriva Aristotelov zakon protislovja. V istem prostoru, času, kontekstu, ne moreš isti stvari hkrati pripisati določene lastnosti in njenega zanikanja. Iz protislovja namreč sledi karkoli, torej se je protislovju treba v dokazovanju izogniti, saj sklep sledi iz neverjetnih premis.
Takšen je recimo Humov argument o spoznavanju stvarnika. Lepo narejena hiša ima stvarnika. Vesolje je podobno lepo urejeni hiši. Torej mora vesolje imeti stvarnika. Predpostavil je, da stvarnika lahko spoznamo s pomočjo analogij in podobnosti. Svet je nepopoln. Kadar je nepopolna hiša, vemo, da so za to krivi zidarji in stavbeniki, ki niso popolni. Stvarnik je nepopoln. Nepopolnost stvarnika je nesmisel. Torej stvarnika ni mogoče spoznati po analogijah.
Vsaka snov se pri razpadu spreminja v svinec. Če bi snov obstajala od vekomaj, bi vsa snov, ki je, bila svinec. Vsa snov, ki je, pa ni svinec. Torej snov ne obstaja od vekomaj. Predpostavimo, da snov obstaja od vekomaj. Potem bi vsa snov bila svinec. Vsa snov, ki je, je svinec in ni svinec, torej snov ne obstaja od vekomaj.
Tradicionalni zakoni misli
Tradicionalni zakoni misli so tista spoznanja filozofov iz preteklosti, ki so v bistvu tavtologije, oziroma so izpeljani iz česarkoli oziroma iz nič. Tradicionalni zakoni misli so osnovne resnice o svetu. Takšen je recimo zakon izključenega tretjega. Ta pravi, da je nujno resničen vsak stavek oblike p ali ne-p. Bivalenca pa je načelo, ki pravi, da ima vsaka propozicija natanko eno od dveh resničnostnih vrednosti. Če govorimo o zakonu izključenega tretjega, še ne govorimo o bivalenci.
Predikatna logika
Sistem aristotelove silogistike je bil sistem, ki je temeljil na notranji zgradbi propozicij. Že ta sistem je poznal oba kvantifikatorja, univerzalnega, ki je govoril o vseh in parcialnega, ki je govoril o nekaterih. Propozicionalna logika na drugi strani pa preučuje logično sledenje ne na podlagi notranje zgradbe propozicij ampak sledenje na podlagi odnosov med propozicijami. Čim temelji logično sledenje na podlagi notranje zgradbe propozicij, propozicionalna logika včasih odpove.
Na njeno mesto stopa predikatna logika, ki ima to dobro lastnost, da lahko obravnava odnose logičnega sledenja tako tistih argumentov, ki temeljijo na odnosih med propozicijami, kot tistih, ki temeljijo na notranji zgradbi stavka.
Lahko si zamislimo nekaj primerov, ki jih s propozicionalno logiko ne gre rešiti. Janez je bogat. Torej je nekdo bogat. Tipično sklepanje v propozicionalni logiki odpove, saj dobimo naslednjo shemo. b \n
Predikatna logika se zato usmeri v notranjo zgradbo stavkov in tako lahko ugotovimo, da v zgornjem argumentu, ki je očitno veljaven, poiščemo tisto, kar je obema propozicijama skupno. To je v našel primeru beseda je bogat. Je bogat je predikat.
V prvem stavku nato lahko najdemo še subjekt in sicer gre za Janeza. Subjekt je lahko lastno ime, lahko pa je tudi občno ime. V drugem stavku pa najdemo kvantifikator nekdo. Nekdo je besedica, ki pove, koliko oseb, predmetov, ima določeno lastnost, ki je določena s predikatom.
Osnovni stavek v predikatni logiki je subjektno-predikatni singularni stavek. To je stavek, ki ima enomestni predikat, kamor se veže en subjekt in kjer kvantifikator ne nastopa. Enomestni predikati so v naravnem jeziku neprehodni glagoli, se pravi, da se vežejo samo z enim stavčnim členom, naj bo to osebek, ali kakšen drugi člen. Kadar je lastnost, ki jo pripisuje predikat, za določen predmet resnična, takrat pravimo, da predmet zadosti predikatu in predmet sodi v ekstenzijo predikata.
V enomstni predikatni logiki se tako ukvarjamo zgolj s predikati, ki jih zapolni en sam predmet.
Kot oznako za predikate vzamemo velike tiskane črke, kot konstante, ki zaznamujejo predmete, pa s malimi tiskanimi črkami. Te so lahko s konca abecede ali pa začetnice lastnih imen.
Metoda interpretacij v PRL
Tudi v jeziku predikatne logike se ukvarjamo s preverjanjem veljavnosti argumentov. Ravno tako kot v propozicionalni, smo tudi v predikatni logiki ostali zvesti načelu, da je veljavna oblika argumenta samo tista, ki ne dopušča, da bi bile premise resične, sklep, izpeljiv iz premis pa napačen. V primeru, da v argumentu ne nastopajo niti kvantifikatorji, niti spremenljivke ampak zgolj predikati in konstante, se lahko poslužujemo že znanih metod preverjanja veljavnosti, tako posredne metode, tabel, kot semantičnih dreves.
Drugačen je problem, ko se v argumentu pojavijo kvantifikatorji in neznanke. Resničnostna vrednost posameznih propozicij je v takšnih primerih odvisna tudi od notranje zgradbe propozicij, od predmetov o katerih govorijo. Tako naslednji argument ni veljaven ravno iz tega razloga. Nekdo govori. Torej Ana govori. To, da nekdo govori, še ni nujen znak, da govori ravno Ana. Drugo je, če je v domeni o kateri govorijo propozicije samo Ana. Potem je argument veljaven, drugače ne.
Ravno tu pride do izraza interpretacija v PRL. Vsaka interpretacija, se pravi preverjanje veljavnosti argumenta, se v PRL začne z navedbo domene interpretacije. Nato se določijo povezave med elementi domene, se pravi med predmeti domene oziroma njihovo simbolizacijo in predikati. Določimo kateri predmeti sodijo v ekstenzijo katerega predikata.
Z interpretacijo skušamo zgraditi nek protiprimer dani obliki argumenta. Če nam uspe, smo na takšen način pokazali, da argument ni veljaven in sicer na enak način kot v propozicionalni logiki, se pravi iz resničnih premis, izpeljemo neresničen sklep.
Osnovna pravila, ki se jih moramo pri interpretaciji držati so. Domena ne sme biti prazna. Vsaka individualna konstanta (predmet), mora imeti referent (ime). Vsakemu predikatu moramo pripisati ekstenzijo. Tu je edini problem pri tem da večmestne predikate zapolni urejeni par, se pravi v ekstenzijo večmestnega prediakta sodijo urejeni pari množice.
Tudi kvantifikatorje je potrebno interpretirati. Propozicija, v kateri nastopa univerzalni kvantifikator je resnična samo takrat, ko je predikat resničen za vsak predmet domene, se pravi da vsi predmeti iz domene sodijo v ekstenzijo predikata. Propozicija, kjer nastopa eksistencialni kvantifikator, pa je resnična takrat, ko je predikat resničen za vsaj en predmet domene.
Oblika argumenta v propozicionalni logiki je veljavna, če in samo če za vsako neprazno domeno, vsak pripis ekstenzij predikatnim črkam in referentov individualnim konstantam v domeni velja, če so resnične premise, je resničen tudi sklep.
Čim imamo končno domeno, lahko kvantifikatorje opuščamo, vendar pri univerzalno zatrjeni propoziciji trdimo konjunkcijo vseh instanc, pri eksistencialni pa disjunkcijo vseh instanc.
Semantična drevesa PRL
Pri iskanju veljavnosti zapletenejših oblik argumentov, metoda interpretacij odpove. Tu stopijo v ospredje semantična drevesa. V veljavnem argumentu nam drevesa v končnem številu korakov vedno povedo, da se interpretacija, kjer so premise resnične, sklep pa neresničen, konča v protislovju.
Iz propozicionalne logike smo uvedli vsa pravila za razstavljanje propozicij, vendar je bilo potrebno dodati nekaj novih, to pa zato, ker smo uvedli nove izraze v jezik PRL, to pa so kvantifikatorji in identiteta.
Pravilo za razrešitev univerzalnega kvantifikatorja je naslenje. Če želimo razrešiti univerzalni kvantifikator, ga uprimerimo in sicer s katerokoli instanco, saj univerzalni kvantifikator pomeni, da je v ekstenziji predikata vsak predmet domene. Univerzalnega kvantifikatorja nikdar ne izčrpamo. V nadaljevanju izgradnje dreves lahko isto črko (instanco) uporabimo še povsod drugod.
Drugače je z razrešitvijo eksistencialnega kvantifikatorja. Za razrešitev vsakega kvantifikatorja moramo izbrati instanco, ki predhodno še ne nastopa nikjer v drevesu.
Semantično drevo je po eni strani postopek, s katerim preverjamo veljavnost argumenta in sicer na takšen način, da skušamo pokazati, da resničnost premis ni združljiva z neresničnostjo sklepa, da se torej v izgradnji primera, kjer nastopajo premise in zanikani sklep, ne more zgoditi, da bi katera veja na drevesu ostala odprta. Če ostane odprta, je s takšno argumentacijo mogoče zgraditi argument, kjer so premise resnične, sklep pa napačen. Takšen argument pa ni veljaven.
Na drugi strani pa lahko z drevesi preverimo konsistentnost propozicij. Če so začetne propozicije v drevesu medsebojno združljive, potem bo nekje na drevesu ostala odprta veja.
Z drevesi pa tudi iščemo tavtologije, se pravi logično nujne resnice. V teh primerih zanikamo propozicijo in pogledamo, če je takšna interpretacija mogoča. Če je, potem prvotna propozicija ni tavtologija.
Neodločljivost predikatne logike
Večmestna predikatna logika ni odločljiva. Ko smo v propozicionalni logiki razreševali posamezna drevesa, smo vedno prišli do nekega konca, kjer smo ugotovili, da so se bodisi vse veje zaprle bodisi so bile odprte, to pa potem, ko smo ostali s samimi atomarnimi pravilno oblikovanimi izrazi. Takšni primeri so se dogajali tudi v enomestni predikatni logiki.
V večmestni predikatni logiki pa temu ni tako. Včasih se zgodi, da naletimo na neskončno drevo, to pa zaradi tega razloga, ker imamo v argumentaciji univerzalno zatrjeno propozicijo, ki jo lahko uprimerjamo v neskončnost. Na takšen način ne moremo drevesa nikoli zapreti, vedno lahko zapišemo neko novo vejo, ki se nikoli ne zapre, pa tudi nikoli ne izčrpa. Drevo nam v tem primeru ne da odgovora na vprašanje ali je argument veljaven, ampak ne da nobenega odgovora.
Osnove logike relacij, vrste relacij
Kadar imamo predikat, katerega nujno zapolni več kot en predmet, takrat pravimo, da gre za relacije. Glagoli, ki zaznamujejo tovrstne predikate so prehodni glagoli. Vsak predikat, ki ga izpolni več predmetov, označuje neko relacijo.
Formalne lastnosti relacij so naslednje. Vsaka relacija je lahko refleksivna, irefleksivna in nerefleksivna. To pa pomeni, da v primeru, da je relacija refleksivna, je predmet v relaciji sam s sabo. Takšen primer je relacija biti podoben. Vsakdo je podoben samemu sebi. Irefleksivna relacija je takšna, kjer predmet nikoli ni v relaciji sam s sabo. Je večji je takšen primer, saj nihče ni večji od samega sebe. Relacije, ki so včasih refleksivne, včasih pa irefleksivne, so nerefleksivne. Takšen primer je v množici naravnih števil biti kvadratni koren od, kar za število 1 velja, za ostale pa ne.
Relacije so dalje lahko tudi simetrične. Prvi predmet je v relaciji z drugim in tudi drugi je v relaciji s prvim. Je enako težak je takšna relacija, pa je sorodnik. Relacija je asimetrična, če je prvi v relaciji z drugim hkrati pa drugi ni v relaciji s prvim. To je v primeru biti mati, biti oče. Nesimetrične so tiste, ki enkrat so simetrične, drugič asimetrične, kot biti bratranec od ali ljubi. Antisimetrične pa so relacije, kjer iz tega, da je A v relaciji z B in B v relaciji z A, sledi, da sta A in B enaka.
Relacije so lahko tudi tranzitivne, kar se vidi recimo v relaciji biti prednik od. Če je A prednik B in B prednik C, potem je A prednik C. Intranzitivne so tiste, kjer iz tega da je A v relaciji z B in B v relaciji s C, sledi, da A ni v relaciji z C. Biti oče od je takšen primer. Netranzitivne so tiste, ki enkrat so tranzitivne, drugič ne. To je tudi biti bratranec od.
Različni pomen besede je
Pomen besede je, je lahko predikatni, kadar predmetu pripisujemo lastnost in sicer v enomestnem predikatu
Lahko je identitetna vloga besedice je. Dva izraza zaznamujeta isti individuum.
Je lahko stoji kot je bivanja.
Alhohol je vnetljiv.
Japonska je dežela vzhajajočega sonca.
Konji obstajajo.
Identiteta in Leibnizov zakon
Klasična predpostavka PRL je, da je domena s katero operiramo, neprazna. Čim nekaj obstaja, lahko za to stvar zagotovo zatrdimo, da je identična sama s sabo. To je tudi prvi zakon identitete. Leibnizov zakon pa trdi, da sta predmeta identična, če imata vse lastnosti enake. Se pa ločujeta pojmovanji numerične identitete in kvalitativne enakosti.